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2016 諾貝爾物理學獎: 拓樸相變理論研究發現

  撰文者:張明強 副教授(國立中興大學物理系)  2017-01-25
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2016 年諾貝爾物理學獎得主介紹[1]

 

2016 年,諾貝爾物理學解頒給三位在美國工作的英國科學家,分別是華盛頓大學的David J. Thouless, 普林斯頓大學的F. Ducan Haldane 和布朗大學的 J. Michael Kosterlitz. 1972 年,當學界還在為低維度系統是否會有相變產生而爭論不休時,J. Michael Kosterlitz 和David J. Thouless 發展出一套新的理論方法[2,3],解釋了因為『拓樸雜質』而 產生的二維系統相變。這樣的理論可以應用在超導體和超流體,而且對於了解 一維低溫量子系統非常的重要。1980 年初期,David J. Thouless 和F. Duncan Haldane 發展出一種理論方法,利用物質的拓樸性質,來描述一種有別於有序態的物質。我們稱之為『拓樸物質』。在這之前,有序態通常是由對稱破缺 (symmetry breaking) 來決定,而這樣的拓樸物質是不具有對稱破缺。在一篇1982 年的論文中 ( 在實驗發現量子整數霍爾效應後兩年) David Thouless 和他的合作者Mahoto Kohmoto、Peter Nightingale Marcel den Nijn 以拓樸學裡的陳省身數解釋整數霍爾效應裡和整數成正比的量子霍爾導電率[4]1983 年,Ducane Haldane 根據一套拓樸學理論導出一維自旋長鍊的性質。他發現如果自旋量為整數會和半整數的行為非常的不相同。這個理論後來也被實驗所證實[4,5]。這些理論發現的拓樸相變和拓樸材質,影響現在的物理學甚深,所以Thouless 獲頒二分之一的諾貝爾物理學獎獎金,Haldane 和Kosterlitz 各獲頒四分之一的獎金。以下我們分別對於這次2016 年諾貝爾物理獎得獎的背景,做比較詳細的說明。


拓樸是什麼?

如果我們去Mr. Donut 買甜甜圈,我們會發現甜甜圈其實有兩種,一種是中間有個洞,一種是中間沒洞的 ( 圖一)。這兩種甜甜圈在拓樸學上,其實屬於兩種不同的拓樸態。

 

我們想像玩一個粘土,先把粘土挖一個洞,之後在不戳其他洞或是把洞黏起來的狀態下,我們可以捏成一個甜甜圈,然後我們又可以把甜甜圈捏成有把手的咖啡杯。所以我們可以說有把手的咖啡杯和有一個洞的甜甜圈是同一個拓樸態。

第一個研究拓樸學的是瑞士數學家和物理學家Leonard Euler。Euler 研究多面體,並把多面體的點數V,面數F 和線數E 的一個拓樸關係,稱為歐拉示性數χ (Eulercharacteristic): χ = F − E +V 歐拉示性數和物體的幾何形狀無關,只跟有沒有洞有關。比如一個四面體跟五面體跟圓形的歐拉示性數都為2,但中間有個洞的多面體,歐拉示性數為0,有兩個洞的物體歐拉示性數為−2 ,所以有g 個洞的歐拉示性數為2 − 2g 。十九世紀末,德國數學物理學家Carl Friedrich Gauss 和法國數學家Pierre Ossian Bonnet將歐拉示性數連續化,他們將三維中的二維平面的曲率積分起來再加上邊界的曲率線積分,得到一個跟正比於歐拉示性數的值:

 

M ∫K dA+∂M  k ds= 2πχ(M)

 

其中K是高斯曲率 (Gaussian curvature),k是測地線曲率 (geodesic curvature),M是曲面。

 

因此,拓樸學只牽涉到物體到底有多少個洞,這樣的洞在數學上來說,稱之為奇點(singularity),而和幾何學的微觀長相無關。這樣的拓樸學,在二十世紀末的物理學產生很多的影響,其中對於凝態物理學的影響,實驗都可以觀測的到。


相變與對稱性破缺

在談Kosterlitz-Thouless (KT) 相變之前,我們需要了解,在他們之前物理學家如何理解相變。「相變」顧名思義就是物質相態的變化,比如說水從冰的固相,融化到液體的液相,或昇華到蒸汽的氣相都是相變。固相是一種有規則的晶體,這樣的晶體,可以看做遵從某種對稱性。比如說移動了一個晶格,看四面跟移動前一模一樣,我們稱為移動對稱(translational symmetry)。固態或稱固相其遵守了某種對稱性。因為遵從對稱性,成為有序態(order state)。有序態其實必須要熵非常低的情形下,或是相對來說溫度非常低的狀況下才有可能。熵是一種混亂的程度,所以溫度增加之後,熵也增加,造成有序態不容易存在,

所以高溫之後,固相轉為液相或是氣相,這兩個相態都是沒有存在一種對稱性的相態。因此高溫或是高熵偏愛的相態。

 

第一個用實驗了解固態相態對稱性的,是利用X 光繞射的von Laue 和Bragg 父子,他們的原子繞射實驗,讓晶格的對稱性從繞射實驗中被了解,因此獲得1914 (von Laue) 和1915 (William and Lawrence Bragg) 的諾貝爾物理學獎。其實要更了解對稱性在相態所扮演的角色,我們可以回到磁性研究。磁鐵人類在西元前幾前世紀就在使用,希臘人在西元前六世紀就描述過磁鐵 (loadstone)。磁鐵是一種鐵磁性 (ferromagnet) 的物質,如果講到其起源,可以非常的複雜,但我們可以想像磁性來自於原子或電子的自旋 (spin),這些自旋量可以想像成一個個的小磁鐵。經由現代實驗的證實,這些自旋量在物質中形成類似棋盤似的排列 ( 如圖二左)。其實還有另外一種看似沒磁性的物質,比如說鉻 (chromium)。鉻沒有鐵磁性,但用實驗發現,鉻的自旋,是有如圖二右的排列。圖二右的自旋正負正負彼此相鄰排著,我們稱為尼爾態 (Néel state)。這種尼爾態也是一種有序態,稱之為反鐵磁。這樣的鐵磁態可以用一種簡化的物理模來描述,我們稱為海森堡模型,基本上海森堡模型描述兩個自旋量會有相互作用,我們可以寫成如下的漢彌頓量

 

J 是自旋交互作用量,B 是所施加的磁場。如果兩個自旋量的交互作用J 為正值,那自旋喜歡排列成平行,就容易在低溫形成鐵磁,如果J 為負值,兩個自旋喜歡排列成相反的排列,形成反鐵磁。

 

所以鐵磁物質是一種有序態,其磁性可以跟每個自旋相關:

 

 

其中μ 為磁矩。鐵磁性的磁性的平均值不為零。我們可以把這個磁性的評均值視為描述鐵磁系統的有序參數 (order parameter)

 

反鐵磁也可以用所謂交錯磁化量 (stagger magnetization) 來表示:

 

,其平均值也可以視為反鐵磁的有序參數。

 

 

圖二


所以有序態是破壞對稱性的。比如說鐵磁,在高溫時自旋可以往上或往下,遵守對稱性,可是低溫時只有某一個方向被偏愛,這時我們稱有序態的對稱性被破壞了,或是對稱性破(Symmetry Breakin)

 

低溫物理從十九世紀末開始發展之後,二十世紀有兩個非常重要的低溫物理發現,第一個是1911 年由Kamerlingh Onnes 發現的超導體 (Superconductors),第二是氦四 (Helium-4) 所形成的超流體,在1937 年由物理學家Pyotr Kapitsa 等人發現。這兩種超流現象,在臨界溫度之下,都有電阻或流體黏滯力降為零的現象。這兩位皆獲得諾貝爾獎。

 

超流體是玻色子,所以在溫度接近零的時候,有所謂玻色愛因斯坦凝結 (Bose-EinsteinCondensate) 現象,拿來解釋超流現象,其實問題比較不大。比較大的問題是,超導體的主要載子是電子,電子是費米子,費米子要形成玻色愛因斯坦凝結就需要解釋。1957 年,John Bardeen、Leon Cooper 和 John Robert Schrieffer 發表BCS 理論,證明在有晶格震動產生聲子的情形下,電子會形成庫柏對 (Cooper pairs) 這種庫柏對由兩個電子形成的類玻色子。所以也會有玻色愛因斯坦凝結的現象。在BCS 理論發表之前,一般理解超導或超流現象,是利用所謂金氏堡- 藍道相變理論(Ginsburg-Laudau theory)。在超導或超流體中,有序參數可以寫成一個複數的形式,

 

其中ρ 為超流體密度,θ 為相位角。而在超流體的有序參數不為零的情形下,我們可以視相位角的分佈不能太廣,或在零度時為一定值。這樣的對稱性,我們稱為U(1) 對稱性破缺。而金氏堡-藍道相變理論中,有序參數的發現是將一個類似位能的函數最小化

 

 

所以我們得到的有序參數要不是零,就是

 

如果是前者代表的無序態,後者代表的是有序態零界溫度就可以用後者為實數來判定。

 

這樣的理論,也可以用在磁性系統。也就是說,只要有序參數存在,就可以利用Ginsburg-Landau 理論去發現相變原理。因此在KT 相變發現之前,科學家會說,相變的理論,根源於系統具有對稱性破缺。因為有對稱性破缺才有有序參數,然後才可以利用金寺堡藍道理論找出有序參數的值。但是KT 相變發現之後,卻完全打破此概念。


二維XY 模型及超流體,Mermin-Wagner 理論

 

Kosterlitz-Thouless 相變是奠基於二維古典XY 模型。二維古典XY 模型考慮二維自旋量:

 

 

,而且其相互作用為方程式(1),其中磁場為零,我們得到XY 模型

 

 

二維XY 模型看似如一個玩具模型,在物理系統無法實現,其實不然。如果我們觀察複數的有序參數,我們得到一個相角。這個相角在絕對零度為一個定值,可是有溫度時,這個相角就會成一個分布函數。如果考慮到二維超導體或超流體,考慮其相互作用時,二維超流體 ( 超導體) 就可以一對一對應到二維XY 模型。所以二維XY 模型其真實物理系統的應用,就是超導超流體。

 

我們從上一節的討論中得出結論,要有相變就必須要有對稱性破缺。三維系統是很容易有對稱性破缺的。可是低維度系統,比如二維或一維就會有其困難。原因是因為低維度系統,熱漲落 (thermal fluctuation) 非常的大,大到很難去維持其有序量,讓有序參數存在。熱漲落來自於熵,熵就是混亂程度,也就是說小於三維的低維度系統,因為空間可以有的變化比三維少,所以一樣的熵就可以把有序變成無序。因此,二維以下的系統,在有溫度的情形下,不可能會有對稱性破缺原理於此,我們稱為Mermin-Wagner 理論。Mermin-Wagner 理論標示了一個重要的結果,就是二維系統不可能會有傳統的相變。也就是金寺堡-藍道相變理論無法是用於維度二維以下的物理系統。而Kosterlitz 和Thouless 也在1972 年挑戰了這個傳統相變理論。


Kosterlitz-Thouless 相變

我們剛剛題過,熱漲落 (thermal fluctuation) 在二維會阻止有序態的發生,這樣的描述,如果用所謂自旋自旋相關性 (spin-spin correlation) 來了解,就更為清楚。在三維系統,我們知道自旋自旋相關性在溫度高的時候會呈現隨著位置越來越遠而指數下降的情形,但在低溫時卻是一個定值:

 

 

在臨界溫度 之下,自旋的相關性唯一定值,我們稱為長程有序 (long range order)。因此傳統的有序態都是長程有序。

 

在二維時就不太一樣。如果我們考慮連續化的二維XY 模型,我們會得到

 

 

從這連續化的模型我們計算自旋自旋相關性,可以發現不管在高溫低溫下,自旋自旋相關性都是多項式遞減。

 

這和我們期盼高溫是指數遞減相矛盾。但是Kosterlitz 和Thouless 在一九七二年的兩篇文章中,考慮渦旋雜質,解決了這個矛盾,把高溫的指數遞減恢復,但低溫還是多項式遞減,並且把多項式遞減稱為『準長程有序』(quasi-long range order),並且發現Kosterlitz-Thouless (KT) 相變。

 

二維XY 模型中,渦旋的產生是很自然的,我們可以考慮圖三。圖三右邊上有單渦旋的產生,單渦旋是比都指向同一方向需要更高的能量。另一種產生渦旋的方式,是產生雙渦旋,如圖三左邊所示。雙渦旋是成對的,而且渦旋的方向不一樣,一個是逆時鐘,一個順時鐘,我們稱之為正渦旋 (vortex) 和反渦旋 (anti-vortex)。渦旋是一種拓樸態,這個拓樸態是渦旋的中間有個奇點(singularity),非常類似我們夏天會遇到的颱風,颱風眼就是奇點。如果整個系統的能量最低的狀態是全部的自旋都朝同一個方向,那正反渦旋對可以利用連續的變化,將正反渦旋互相靠近,最後兩個渦旋碰到之後互相抵消。而單一渦旋無法。因此我們可以得知,正反渦旋是出現在低溫狀態,而單渦旋是出現在高溫狀態。

 

單渦旋其實就是自旋轉了三百六十度,所以定義一個渦旋可以利用一個相角的變化如果是三百六十度,而且是正值,我們稱為正渦旋,如果是負值,我們稱為是反渦旋:

 

所以如果v = 1 就是正渦旋, v = −1 為反渦旋。所以一個渦旋的條件是,

 

 

這樣帶入方程式(8),我們才會得到1 -1。如此可以得出一個渦旋的能量為

 

 

其中L 是系統的長度,a 為渦旋的直徑。產生一對正反渦旋的能量,剛好是

r 是正反渦旋的距離。所以考慮單一渦旋的自由能,我們必須考慮F = E − TS ,得到

 

,其中熵是和系統中有多少組合數有關,所以一個L × L 中有L2 / a2 個組合數,所以得到熵為

 

 

從這個自由能,我們可以得到KT 相變的溫度,也就是說,如果這個單一渦旋的自由能比較低,代表單一渦旋的能量較低,系統偏好單一渦旋,但如果這個自由能大於零,代表單一渦旋的自由能太大,讓系統喜歡正反渦旋對,因此我們得到KT 零界溫度

 

 

 

所以KT 相變溫度TKT 以下,系統偏好正反渦旋對,這也很好理解,我們提過,正反渦旋對可以利用連續變化,把正反渦旋相結合而消失,這樣的和零度的相態,也就是每個自旋都往同方向,是可相接的態。但在臨界溫度以上,單一渦旋就會出現。渦旋對被破壞,而許多單一渦旋會讓系統產生指數隨距離相減的自旋自旋相關性,得到跟三維高溫的結果一模一樣。

 

所以我們在KT 相變是一種全新的相變模式。這種相變不需要對稱破缺,而且也不需要長程有序。相變產生的原因是因為拓樸雜質(渦旋)的生成,在低溫時拓樸雜質成對產生,產生準長程有序,所以是另一種型態的有序態,而超過零界溫度時,拓樸雜質只會單一產生,所以產生質變,如圖三所示。在1973 年的論文中,Kosterlitz 和 Thouless 完全解釋了這個現象[3]。後來Kosterlitz 運用重正化群 (renormalization group) 解釋正反渦旋的重正化流 (flow equation),證實他們之前所提的數學正確性[6]

 

現在二維KT 相變可以用來解釋各種不同的物理實驗,比如說,置於固體上氦四(Helium-4) 二維薄膜[8],二維無序超導薄膜[9],由單獨超導體形成的人工二維陣列[10,11],表面粗糙的超導膜[12] 和二維固體的融化問題[13]。後來實驗更發展到可以用原子形成玻色愛因斯坦凝結 (Bose-Einstein Condensate),這時

可以證明,超流體不見得一定要有玻色愛因斯坦凝結,就是因為有這種準長程有序,讓系統可以發展出準凝結。因此,現代物理來說,KT 相變是不可以缺少的概念。

 

Nelson 和Kosterlitz 後來發現了一個有趣的現象[14],當溫度降到臨界溫度時,突然會出現超流密度,而且這超流密度和系統無關,而和普世常數(universal constants) 有關,稱為普世超流密度跳躍 (universal jump in the superfluid density)。

 

後來這個結論被Bishop Reppy 的實驗證實。因此我們可以說KT 相變已經在實驗上都得到普遍的驗證。


參考資料

[1] Scientific Background on the Nobel Prize in Physics 2016

[2] J M Kosterlitz and D J Thouless. Long range order and metastability in two dimensional solids and superfluids.(Application of dislocation theory). Journal of Physics C: Solid State Physics, 5(11):L124, 1972.

[3] J M Kosterlitz and D J Thouless. Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems.Journal of Physics C: Solid State Physics, 6(7):1181, 1973.

[4] D. J. Thouless, Mahito Kohmoto, MP Nightingale, and M Den Nijs. Quantized hall conductance in a twodimensionalperiodic potential. Physical Review Letters, 49(6):405, 1982.

[5] F.D.M. Haldane. Continuum dynamics of the 1-D Heisenberg antiferromagnet: Identification with the O(3)nonlinear sigma model. Physics Letters A, 93(9):464–468, 1983.

[6] N David Mermin and Herbert Wagner. Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in one-or twodimensionalisotropic Heisenberg models. Physical Review Letters, 17(22):1133, 1966.

[7] J M Kosterlitz. The critical properties of the two-dimensional xy model. Journal of Physics C: Solid StatePhysics, 7(6):1046, 1974.

[8] D. J. Bishop and J. D. Reppy. Study of the superfluid transition in twodimensional 4He films. Physical ReviewLetters, 40:1727–1730, Jun 1978.

[9] K. Epstein, A. M. Goldman, and A. M. Kadin. Vortex-antivortex pair dissociation in two-dimensionalsuperconductors. Physical Review Letters, 47:534–537, Aug 1981.

[10] D. J. Resnick, J. C. Garland, J. T. Boyd, S. Shoemaker, and R. S. Newrock. Kosterlitz-Thouless transition inproximity-coupled superconducting arrays. Physical Review Letters, 47:1542–1545, Nov 1981.

[11] Piero Martinoli and Chris Leemann. Two dimensional josephson junction arrays. Journal of Low TemperaturePhysics, 118(5):699–731, 2000.

[12] A. F. Hebard and A. T. Fiory. Evidence for the Kosterlitz-Thouless transition in thin superconducting aluminumfilms. Physical Review Letters, 44:291–294, Jan 1980.

[13] Katherine J. Strandburg. Two-dimensional melting. Review of Modern Physics, 60:161–207, Jan 1988.

[14] David R. Nelson and J. M. Kosterlitz. Universal jump in the superfluid density of two-dimensional superfluids.Physical Review Letters, 39:1201-1205, Nov 1977.


作者: 張明強 副教授 (國立中興大學物理系)

 

 



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