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大面積面射型雷射的橫向模態空間混沌現象:類比研究量子混沌

  撰文者:余彥廷 (國立交通大學電子物理所,博士後研究員)  2016-07-28
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大多數針對雷射混沌現象的研究關注在光場隨時間的混沌振盪現象,有別於此,大面積面射型雷射(broad-area vertical-cavity surface-emitting lasers) 能激發豐富空間分佈的雷射模態,這讓雷射混沌的研究,可從光場的時間變化動力學邁入光場的空間分佈動力學,更有價值的是,此研究能推廣至研究介觀物理(mesoscopic physics) 的量子混沌(quantum chaos)。本文將介紹如何用大面積面射型雷射類比研究二維量子彈子球檯,以探究波的空間混沌動力學。


前言

面射型雷射(vertical-cavity surface-emitting lasers) 自從1979年被K. Iga發明以來[1],由於其低閾值電流(threshold current)、單一縱模以及良好的光束品質(beam quality) 等特性,至今已廣泛應用於光儲存、光通訊及光感測器等[2, 3]。研究上,面射型雷射有兩個獨特的議題,其一是雷射易受外在光微擾的影響,如光負迴饋(optical feedback) 等,使光功率不穩定[4];其二是雷射的偏振態(polarized states) 會隨操作電流或溫度而變,光場偏振態很不穩定[5],此兩點皆會使雷射的輸出光呈現隨時間混沌振盪訊號(time-varying chaotic signals),近二十年,由於光學混沌能應用於通訊工程中編碼與資訊加密,迄今,面射型雷射的光混沌現象仍被廣泛探究[4]。

有別於隨時變訊號的混沌現象,物理近代發展中,另一個重要的議題是量子混沌(quantum chaos),亦即是用量子理論研究古典混沌系統以了解量子及古典對應性(quantum-classical correspondence) [6,7]。二維彈子球檯模型(two-dimensional billiards) 是研究量子混沌的主要模型[8],這是因為二維彈子球檯在古典力學上,粒子運動軌跡的圖像容易理解,而在量子力學,粒子是束縛在二維無限高位能阱(2D infinite potential well),粒子的行為可由定態薛丁格方程式(stationary Schrödinger equation) 分析。近十幾年,研究發現,利用定態薛丁格方程式與漢姆霍茲方程式(Helmholtz equation) 在數學上的等價性,光學共振腔系統能類比呈現量子混沌現象,如微波共振腔(microwave cavities) [9]、微碟雷射(microdisk lasers) [10, 11] 及光學光纖器(optical fibers) [12] 等。

面射型雷射是準二維介電質波導(quasi-two-dimensional dielectric waveguides) 的結構,其單一維度束縛的模態數量約為 ,其中  是腔體尺寸, 是波數, 及  分別是主動介質層及氧化包覆層 (cladding regimes)的折射率。過去,針對面射型雷射的研究,主要聚焦於尺寸較小 () 的元件,這些雷射傾向激發低階橫向模態(low-order modes),以利光電工程應用。1999 年,為研究自然界中無所不在的圖騰形成(pattern formation) 物理機制,哈格提等(Hegarty et al.) 設計許多大面積面射型雷射(oxide-confined broad-area VCSELs) [13],他們發現這些元件會激發出豐富空間分佈的雷射模態,且由於  數值很大,這些雷射模態在邊界的行為可近似為完全反射的硬牆(rigid wall)。2002 年,陳永富等(Y. F. Chen et al.) 首先發現,此雷射模態的理論可近似成漢姆霍茲方程式(Helmholtz equation) 及德利克雷邊界條件(Dirichlet boundary condition),這跟二維量子彈子球檯的數學架構是完全等價的,進而證實大面積面射型雷射是可應用於研究量子彈子球檯系統[14],面射型雷射的橫向邊界形貌將是決定雷射模態的空間結構及光譜特徵的重要因子,此發現的意義在於,雷射混沌的研究,可從光場的時間變化動力學邁入光場的空間及光譜分佈動力學,這也是嶄新的領域,稱之波動混沌(wave chaos),研究架構與量子混沌則高度相似[15-17]。

近年來,半導體微米級結構裡載子的傳輸行為被發現可用量子彈子球檯模型描述,因此,探究量子混沌將有助於應用介觀尺度半導體元件的設計[18, 19]。

量子彈子球檯的波函數形貌

量子彈子球檯的研究是利用量子力學詮釋彈子球檯中的粒子,具波動特性的粒子束縛於二維無限高位能阱,動力行為由邊界決定,邊界形狀是影響粒子動力學的主因,根據古典力學,彈子球檯系統可分成可積的(integrable) 與不可積的(nonintegrable),可積系統的粒子運動是穩定且規則,二維方形及圓形邊界是經典的實例,如圖1(a);對於不可積系統,粒子運動呈現不穩定且混沌(chaotic),操場形狀彈子球檯如圖1(b) 是研究混沌動力學很著名的系統[20]。

圖1:(a)二維方形彈子球檯粒子運動的軌跡。(b)二維操場形狀彈子球檯粒子運動的軌跡。

 

量子彈子球檯中粒子的運動依循定態薛丁格方程式,粒子的波函數及能量為量化的,對於方形量子彈子球檯,波函數特徵態的空間分佈呈現規則地棋盤狀結構,如圖2所示。自然界中,粒子波函數狀態往往不是特徵態,而是許多特徵態組構的疊加態(superposed states),而疊加的權重係數,則取決於系統的缺陷、微擾及外加驅動場(external driven fields) 等。探究量子波函數疊加態跟古典粒子運動特徵的關聯性是重要的議題。1926年,薛丁格利用波包(wave packet) 描述簡諧振子的運動,此即相干態(coherent states),相干態隨時間沿著古典簡諧粒子的軌跡行進,此發現成功將波函數及古典粒子連結起來。爾後,波雷特等(Pollet et al.) 更進一步從理論推導出座落在古典橢圓軌跡的定態相干態(stationary coherent states) [21]。近年,奠基於波雷特的概念,可積量子彈子球檯的定態相干態成功的由近簡併特徵態(nearly degenerate eigenstates) 線性疊加組構建立[22, 23],圖3為方形量子彈子球檯的定態相干態。特別的是,實驗上,對於類似量子彈子球檯系統的量子點元件(quantum dots),對應於古典軌跡的定態相干態普遍被觀察到,且對材料的導電性質有密切影響[18, 19]。

圖2:二維方型量子彈子球檯的幾個特徵波函數的強度分布圖。

圖3:方形量子彈子球檯定態相干態與其疊加方式。

 

    對於不可積量子彈子球檯,邊界為任意形貌,其無法對應於任何的對稱座標系(如笛卡爾或極座標),因此,特徵態的解析解無法求得,在此我們利用特徵函數展開法求解。如圖4(a)為將近簡併特徵態組成的疊加態,其呈現出不規則空間佈滿的結構,換言之,操場形量子彈子球檯的定態波函數即顯現出混沌的特徵,這跟古典粒子在操場形彈子球檯的混沌動力行為是一致的。


繼續閱讀全文:物理雙月刊38期8月號(2016)

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