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蔡坤憲/共發表8篇文章

St. John's College Hamilton 物理教師

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你知道亞得里亞海岸旁的「海風琴」嗎?

  撰文者:蔡坤憲  2017-07-24
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樂音與噪音的差別在哪裏?從心理層面來看,也許可以簡單又直接地說成:只要是會讓人心情愉悅的就是樂音,而讓人覺得不舒服的就是噪音。震耳欲聾的搖滾樂,就是一例。但若從物理層面來看,就是另外一番光景了。

想像一下,你拿著一些小石頭隨意地丟向小水池裡,當水波從池子的邊緣反射回來,與新激起的水波相遇時,彼此之間會有部分發生抵銷或增強的現象,這稱為干涉,但整體而言,看不出有什麼規律,就是攪亂了水池裡原本平靜的水面;就聲波而言,這就是「噪音」。

反之,如果你能妥善的安排把小石子丟進水池的時機,讓新產生的波峰與反射波的波峰相遇(二者的波谷也會相遇),如此一來,這入射波與反射波的干涉結果,新的波峰位置會更高,波谷則更低,亦即振幅會增大。此外,從整體的水面來看,這些新的波峰、波谷的位置,會出現在固定的位置,也有些位置的水面是完全沒有起伏的,彷彿是停留在原處的水波。相對於一般常見的行進波(travelling wave),這種新型的波動現象稱為駐波(standing wave);就聲波而言,這就是「樂音」。

至於怎樣才是把小石頭丟進水池的最佳時機呢?理論上很簡單,就是要讓丟小石頭的頻率(即入射波的頻率),等於反射波的頻率。好比我們在盪鞦韆時,如果施力的頻率等於鞦韆擺動的頻率,那麼鞦韆就可以愈盪愈高一樣。這在振動運動中稱為共振(resonance)。當彈性物體發生共振時,個別的質點會在原處做簡諧振盪,整體看來就是駐波現象。

話說回來,想在水池裡製造出水波的駐波並不容易。不過,相對而言,想製造出聲波的駐波就容易多了,因此,有許多「聲音的容器」被發展成各式不同樂器,整體而言,可分為弦樂器與管樂器這兩大類。


駐波與弦樂器

用物理課本的術語來說,駐波為兩個振幅、波長、週期皆相同的正弦波相向行進干涉而成的合成波。此種波的波形沒有向外傳播,因而得名。

駐波通過時,每一個質點皆在原位置處作簡諧運動。各質點振盪的幅度不相等,振幅為零的點稱為節點或波節(node),振幅最大的點位於兩節點之間,稱為腹點或波腹(antinode)。相鄰兩節點之間的距離為半波長(圖一)。

 

兩端固定、有彈性又略微緊繃的繩子(例如琴弦),是研究駐波的最佳工具。當我們撥動琴弦使之振動,產生的波在弦上傳播,經兩固定端反射干涉形成駐波。其可能振動的模式如圖一所示。設弦長為L,由於弦的兩端固定是為節點,因此,弦長等於半波長() 的整數倍,寫成數學關係式為

其中n為正整數,n= 1為振動頻率最低的模式,稱為基頻或基音,頻率較高的音(n = 1,2,3 …)稱為泛音;基音與泛音統稱為諧音(harmonics)。n= 2稱為第二諧音或第一泛音,頻率為基頻的兩倍,波長則為基頻模式的一半。


駐波與管樂器

相較於「兩端固定」的弦樂器,管樂器有「閉口管」與「開口管」的差別,而且管內振動的空氣柱是縱波,稍微複雜一些。只要理解在閉口管處的空氣不會振動,因此與琴弦的固定端一樣都是節點的所在,便不難掌握出現駐波的條件。

至於開口端的部分,可以試著拿一條繩子,讓底端不要觸地,並用一隻手在繩子的上方左右搖動上方,當頻率正確時,就會出現駐波。此時,由於繩子的底端並未固定,因此是振幅最大的區域,所以會是駐波的腹點(如圖二)。

我們很容易有一個誤解,以為固定端的繩子才會有反射波回來,但事實上,另一端不固定的繩子,也會有反射波回來,差別是「相位」的問題:對固定端而言,入射波的波峰,會成為反射波的波谷,亦即入社波與反射波「反相」。而對另一端不固定的石子而言,入射波的波峰,其反射波仍為波峰,亦即入射波與反射波「同相」。如圖三所示。

有了這一層認識之後,我們就可以很容易地以繩波的概念,從空氣質點位移大小(振幅) 的觀點,來理解開管 (兩端皆為開口的空管) 與閉管 (一端封閉,另一端開口的空管)。如圖四所示,閉管的基頻波長為管長的四倍(),開管的基頻波長為管長的二倍()。


海風琴(The Sea Organ

扎爾達(Zadar) 是中歐克羅埃西亞共和國(Republic of Croatia) 的第五大城,位於地中海水域的亞得里亞海沿岸。該市有一座著名的海風琴(Sea Organ),藉由海風與海浪,以及一組藏於巨型大理石階梯下方的空管與共振腔,隨機吹奏出不同的優美音符,如圖五所示。這種具有隨機性元素的音樂創作形式稱為隨機音樂(Aleatoric music,或Chance Music)。

海風琴源自於札爾達的一項都市計畫,原本是希望修復在二戰時遭破壞的海岸線,但由於缺乏妥善的規劃,結果,在本該優美的海岸線上築起了一片片笨重又單調的水泥牆。2005年,建築師Nikola Bašić以管樂器的物理原理為基礎,設計出這座利用海浪與海風演奏的海風琴,成為當地的著名景點,並贏得2006年歐洲城市公共空間獎(European Prize for Urban Public Space)。

海風琴發聲的原理與一般風琴相同,須讓氣流流進風琴管,引發共振,如圖六所示。上方為聲音的出口,階梯的下方位有空氣管,前方位於海面之下,藉由海浪所產生的氣壓,讓氣流通過上方的風琴管。圖七為風琴管的構造圖,屬閉管結構(一端封閉,另一端開口的空管)。


(a)若要產生基頻駐波(波長2.6 m),需要多長的風琴管?

(b)當氣流由尖唇進氣道(sharp lip) 吹入時,會讓風琴管中的空氣出現不同的振盪頻率。請解釋,為何不是所有的頻率都能產生駐波呢?

(c)海風琴是由一組不同長度的風琴管所組成。請解釋為風琴管的長度,會影響我們所聽到的聲音頻率?

(d)聲音在冷空氣中傳播的速度較慢,例如在35°C時的聲速為353 ms–1,–2°C時的聲速為330 ms–1。試問我們在夏天(35°C) 與冬天(–2°C)所聽到的第三諧音(第一泛音),其頻率有何差別?


海風琴試題解答

(a)參考圖四,由聲波在閉管內的駐波模式可知:

 

(b)駐波波長與風琴管的長度,須滿足「閉口端為節點,開口端為腹點」的條件。如圖四所示,形成駐波的條件為風琴管的長度須為四分之一波長的奇數倍。

 

(c)已知駐波波長與風琴管的長度成正比,而波長與頻率成反比(),因此,風琴管長度增長時,所發出的琴音頻率較低。

(d)閉管的第三諧音(第一泛音) 是指的情況:

首先,根據閉管的駐波波長條件,可得駐波的波長為

因此,冬天時的頻率為

夏天時的頻率為

二者的頻率差為


結語:

駐波波長的條件,其推導的過程並不困難,不需要繁複的代數技巧,只要能掌握節點的數量及其所在的位置,配合駐波的波形,利用圖一與圖四的方式,即可很簡單推導出來。

對於懂音樂或樂器的同學而言,理解弦樂器與管樂器背後的物理原理,應該是件很有趣的事情。費曼在〈發現事理的樂趣〉一文中,透過他與一位藝術家朋友之間的對話,闡述自己身為科學家的美感經驗,並在藝術與科學之間搭起一座橋樑:

我有一個朋友,他是個藝術家,他有些觀點我真是不敢苟同。他會拿起一朵花,說道:「看,這花多美啊!」是啊,花很美,我也會這麼想。他接著會說:「你看,作為一個藝術家,我會欣賞花的美;而你是個科學家,只會職業性地去層層剖析這花,那就無趣了。」我覺得他在胡扯。首先,我相信,他發現花很美,其他人和我也能看到,不過,我可能沒有他那樣精妙的審美感受。但是毋庸置疑,我懂得欣賞花的美。而我同時還能看到更多的東西:我會想像花朵裡面的細胞,細胞體內複雜的反應也有一種美感。我的意思是:美不盡然在這方寸之間,美也存在於更小的微觀世界,這朵花的內部構造也很美。事實上,一些進化過程很有意思,比如,一些花開始有了顏色,就是為了吸引昆蟲為自己授粉 … …所有這些有趣的問題都說明了一件事:科學知識只會增加花的美感。

 

同樣地,建築師Nikola Bašić透過這座海風琴,很好地展示了跨學科、跨領域學習的優勢,科學或物理學未必只是實驗室內冰冷的公式或圖表,也可以是幫我們在原有的專業或興趣上加分的重要素養。

這道試題,讓我們不僅多知道一個觀光景點,看到一種另類樂器,也看到人家如何運用巧思來改善市容,以及創造經濟價值的作法!

 

 



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