F a c e b o o o k

蔡坤憲/共發表8篇文章

St. John's College Hamilton 物理教師

Print Friendly and PDF 

雙狹縫干涉圖樣與飛機的「盲降系統」

  撰文者:蔡坤憲  2017-05-24
  點閱次數:833


相信大家都知道,能讓飛機平穩地在空中飛行,背後的原理是白努利定律。然而,指引飛機,對準跑道,安全降落的原理又是什麼呢?從乘客的角度而言,就是空服員在飛機起降時,一再提醒的:關閉手中的電子通訊設備,如手機、筆電或平板等。很直覺地,我們不難想像,這些電子通訊設備所發出的電磁波,會「干擾」到飛機與塔台之間的導航設備。然而,具體而言,這些電磁波會如何「互相干擾」呢?

這一期的專欄,希望介紹紐西蘭高三物理的一道試題,由紐西蘭物理學會所命題。波動系統屬外部評量,以傳統的紙筆測驗進行,整份試卷含三大題,建議答題時間為一小時,及格的同學可獲得四個學分。因此,建議分配給底下這道試題的答題時間約為二十分鐘。


試題:特高頻(VHF) 天線的干涉圖樣

儀表著陸系統(Instrument Landing System,縮寫:ILS),俗稱盲降系統,是目前應用最為廣泛的飛機精密進場和降落導引系統。ILS系統主要有兩個子系統,一個為航向台(Localizer) 提供水平引導,另一個為下滑台(Glide Slope或Glide Path) 負責垂直引導。其中的航向台位於跑道末端,由兩個或以上的天線所組成。這組天線發射出單頻、同相(in phase) 的電磁波,如下圖所示:

Macintosh HD:Users:Sam:Desktop:untitled folder:圖一:航向台、跑道、飛機示意圖.jpg

圖一,航向台、跑道、飛機示意圖

 

(a)   這組天線(相距16.0 m) 所發射出的電磁波頻率為110 MHz。試計算中央極大區的中心線與相鄰第一條節線(極小) 之間的夾角大小。

(b)  干涉圖樣可指引飛機,沿著直線飛向跑道的中央。試解釋航向台如何發出一道可以指引方向的電磁波,並解釋當飛機偏離方向時(圖二所示),這道電磁波在強度上所發生的變化。

Macintosh HD:Users:Sam:Desktop:untitled folder:圖二:安全與危險的降落方向.jpg

圖二,安全與危險的降落方向

 

(c)   當天線所發射的電磁波頻率增高時,試問對干涉圖樣,以及對跑道末端節線(極小) 與反節線(極大) 之間的距離有何影響?

 

大多數機場的航向台天線都不只有二個,而是以16個距離相近的天線所組成的天線陣列,如圖三所示。

Macintosh HD:Users:Sam:Desktop:untitled folder:圖三:航向器天線陣列示意圖.jpg

圖三,航向器天線陣列示意圖

 

(d)  請解釋增加天線數目之後對於干涉圖樣的影響?在導引飛機飛向跑道的中心線上,與採用2個天線相比,採用由多個天線所組成的陣列有何助益?


解題觀念:楊氏的雙狹縫干涉實驗

紐西蘭出題的方式,偏好真實情境或實際應用,依此,乍看之下會覺得有些困難。例如這個問題,由於大家都不熟悉儀器著陸系統的具體細節,也都沒有學習過相關的內容,因此不容易掌握到解題的思路。所幸,試題標題中的「干涉圖樣」文字,或是圖一中的兩個天線示意圖,都算在暗示同學:解題思路為雙狹縫干涉實驗。

(a)小題的解題關鍵在於雙狹縫干涉實驗的幾何關係圖,以及理解光程差() 是造成干涉的原因(圖四)。因此,(a)小題就是在考第一暗紋的位置,暗紋起因自破壞性干涉也就是光程差為半波長。

 

Macintosh HD:Users:Sam:Desktop:untitled folder:圖四:雙狹縫干涉的光程差示意圖.JPG

 

圖四,雙狹縫干涉的光程差示意圖

 

題目中給出的條件是兩個天線間(或狹縫)的距離,以及電磁波的頻率110 MHz。因此解題的第一個步驟是算出波長

 

再代入發生第一極小(暗紋) 的條件,即光程差為半波長的位置:

因此,

從「分段給分」的閱卷角度來看(請參考前文:沒有「一百分」的考試):若學生可以正確地把頻率換算成波長,即可得到A (及格),若能正確地使用第一極小的條件,即能獲得這一小題的滿分M (優秀)。

 

(b)小題中的「解釋」,表明這是一道觀念題,學生只需要解釋「中央亮紋」或「中央極大」的觀念即可。

 

我們知道光波在雙狹縫干涉圖樣中出現的亮紋(反節點),主因在於光程差為零或波長的整數倍,亦即抵達光屏的兩道光波為同相:兩波的波峰與波峰相遇,或波谷與波谷相遇,形成建設性干涉。學生若能解釋出這個原理,即可得到A。

若學生能再解釋中央亮紋(極大) 的兩旁各有一條暗紋(極小或節線),起因自光程差為半波長(異相) 的破壞性干涉,因此當飛機偏離跑道時,飛機上所接受到的訊號會明顯地減弱。如此便能得到這一小題的滿分M。

(c)小題的思路是:由於電磁波的波長與頻率成反比(),因此當頻率增高時,波長會變短。答題時,若能提及此觀念即可得A。

若能根據中央極大的公式()推論出中央極大的角度大小為:

由於兩天線間的距離d是固定的常數,因此當波長變短時,中央極大的角度也會隨之減小。答題時知道運用此觀念可得M。

因此,無論在哪個位置,包括遠在跑道的另一端,反節線(電磁波極大的區域)之間的距離會縮短。由於節線位於反節線之間,所以節線之間的距離也會變得更近。因此,當電磁波的頻率增高時,節線與反節線之間的距離會縮短。若學生能完整地解釋整個觀念時,即可得到此小題的滿分E (卓越)。

 

(d)小題的思路是:雙狹縫與多狹縫(光柵) 干涉圖樣的差異。

每一道天線均可視為一個點波源,當天線的數目增加時,就要考慮「多狹縫」干涉的情形。在觀念上,與雙狹縫相比,在多狹縫的情形裡會有更多的波彼此互相干涉,我們以點波源與圓形波來解釋,如圖五所示。

 

Macintosh HD:Users:Sam:Desktop:untitled folder:圖五:多狹縫的情形會有更多的波彼此互相干涉.jpg

圖五,多狹縫的情形會有更多的波彼此互相干涉

 

多狹縫干涉圖樣中的亮紋與雙狹縫的結果相似,然而,在點波源的數目增加之後,空間中可以產生建設性干涉(同相) 的區域會減少,大多數的區域都是部分或完全破壞性干涉,而呈現灰色或黑色,相反地,貢獻到同一亮紋的波數增加,所以亮紋的亮度會增大。因此,亮紋本身的寬度會減小,亮紋之間的距離會增大,本身的亮度也會增加,因而顯得較為清晰。

換言之,導航電波的解析度與強度都會增強,因而能減小飛機偏離航道的橫向距離,更精確地指引飛機飛向跑道中央。

另一個角度,可從繞射光柵的干涉公式來看

其中,d是相鄰狹縫之間的距離,是第n級極大的繞射角度,其中為中央極大。在觀念上,第一主極大()的出現的位置,就是光程差為一個整波長的位置,對相同波長(或頻率) 的電磁波而言,狹縫間的距離d成反比。也就是說,當天線陣列中的天線數目增加時,即狹縫(或點波源) 間的距離d減小,增大,因此第一極大的角度會增大,亦即亮紋彼此之間的距離會增大。

 

在評分方面,只要提及亮紋(建設性干涉、反節線) 之間的距離會增大、會增大,或是中央極大的強度增強但寬度變窄,即算及格A。

若能解釋亮紋強度增強的原因,是由於在多狹縫(多波源) 干涉的情況下,空間中可以產生建設性干涉(同相) 的區域會減少,由於能量守恆的緣故,亮紋的強度會增加,即可以獲得M (優秀)。在M之外,若能連結「亮紋間距離增大與強度增強」與儀器著陸系統二者之間的關聯,亦即「導航電波的解析度與強度都會增強」的物理意義,即可得到此小題的滿分E (卓越)。


教具分享:直觀又具體的「雙狹縫」實驗

在干涉與繞射的教學中,學生對於以疊加原理來解釋建設性與破壞性干涉現象,一般不會覺得太困難。我們除了傳統的水波槽實驗之外,也讓學生實地去觀察光學中的狹縫與光柵的干涉與繞射圖樣,也拿了兩個喇叭,讓學生親身體驗音量大小的變化,藉以解釋劇院環繞音響的基本原理,當然還有運用電腦模擬動畫(例如Phet網站) 來解釋這些現象。

在理論講解與實驗課之後,我們還有一份傳統的工作單(圖六),要讓學生用筆與直尺,親手標示出節線(節點的連線) 與反節線的位置,藉此加深他們對於「光程差」的理解。

Macintosh HD:Users:Sam:Desktop:untitled folder:圖六:雙狹縫干涉工作單.jpg

圖六,雙狹縫干涉工作單

 

此外,我們還會和學生討論一些「如果」(What if?) 的問題,例如:

1.     如果雙狹縫間的距離變大,屏幕上亮紋間的距離會增大或減小?

2.     如果狹縫間的距離固定,但水波或光波的波長變短(頻率變高),屏幕上亮紋間的距離會增大或減小?(這也是本道試題的c小題)

當然,我們可以透過實驗操作,或是理論、公式的計算來回答這些問題。然而,讓我覺得趣味盎然的是,我同事徒手打造的教具(圖七):

·       釘有三根釘子的一條木板上,作為狹縫間的距離。

·       四把米尺,其中兩把每隔10公分標示一條紅線,另外兩把根則以5公分為間隔標示一條藍線,分別表示兩個波長不同的波動。

就是這樣一個簡單的教具,可以很清楚、很直覺地向學生解釋,當狹縫間隔或波長發生變化之後,對於亮紋間隔所發生的影響。

 

Macintosh HD:Users:Sam:Desktop:untitled folder:圖七:雙狹縫干涉教具.jpeg

圖七,雙狹縫干涉教具


結語:一道試題,一個故事

「一道試題,一個故事」是紐西蘭物理試題的特色之一;這個「故事」通常會是實際的科技應用,或是生活中常見的自然現象。目的就是希望學生能活學活用書本裡的知識。從台灣同學的角度而言,這類型的試題,類似「科普」讀物,但又更深入一些,也與學校課程相關,很適合用來刺激思考、開拓視野。


延伸閱讀:儀表降落系統

以這一道試題為例,有興趣的讀者或同學,可以試著以「儀表降落系統」或英文Instrument Landing System (ILS) 上網搜尋更專業的航空飛行知識。例如在台灣航空教育發展協會的網頁(http://www.taeda.org/?p=307) 上,關於著陸系統的航向台介紹如下:

航向台建在跑道外,位於跑道中心線延長線的500 m處,它是一個無線電發射台,發射出兩個調製頻率不同的等強度的甚高頻波束。這兩個波束以跑道中心線為界。左面的波束以90 Hz頻率調製,右側的波束以l50 Hz調製,這一對波束很窄,它以3度角上仰向左右各擴散35度,作用距離為40 km。飛機上裝有接受這組電波的儀表,當飛機進入此電波範圍內時,飛機上的儀表指針會擺動,如果收到的90 Hz電波的強度大於l50 Hz的電波時,儀表的指針向右偏動,表明此時的飛機在跑道左側,飛機需要向右調整才能對準跑道。反之,則飛機向左調整。儀表上的指標對在正中點表明飛機的航向正對跑道的中心線。

 

維基百科(https://zh.wikipedia.org/zh-hant/儀表著陸系統) 也有豐富的介紹,例如,圖八是航向台波束示意圖,圖九是飛機上與ILS訊號耦合的飛機姿態儀,可讓機長知道飛機偏離跑道的程度,恰當地補充了上方文字說明的不足。

 

Macintosh HD:Users:Sam:Desktop:untitled folder:圖八:航向台波束示意圖.jpg

圖八,航向台波束示意圖

Macintosh HD:Users:Sam:Desktop:untitled folder:圖九:與ILS訊號耦合的飛機姿態儀.jpg

圖九,與ILS訊號耦合的飛機姿態儀

 

最後,有個專門介紹飛機著陸系統的英文網站(http://www.landingsystem.com),除了有很多珍貴的照片與技術性細節之外,還有模擬飛機降落的動畫,非常值得一看:http://instrument.landingsystem.com/ils-tutorial-animation(播放的按鈕在左下角)。



Search