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高崇文/共發表26篇文章

中原大學物理學系 教授

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電磁英雄傳之九:馬克斯威爾(下)

  撰文者:高崇文  2017-01-04
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上一回的阿文開講簡單地介紹了馬克斯威爾的前半生,這一回阿文要好好地將他在電磁學的豐功偉業做一番整理。雖然學物理的人,沒有一個沒學過馬克斯威爾方程式,然而鮮少有人去讀馬克斯威爾的原始論文。如果各位看官跟阿文一樣去讀的話,一開始一定會一頭霧水,完全看不懂馬克斯威爾在幹嘛。這是因為現代的教科書早已將馬克斯威爾方程式簡化成現代讀者容易接受的形式,而非看來相當憋扭笨拙的十九世紀樣式。但是更要緊的是這背後隱含著的是一次劇烈的"典範轉移",馬克斯威爾當年念茲在茲的分子渦流模型早在二十世紀初就被拋諸腦後。雖然馬克斯威爾開創的電磁理論打開邁向相對論之路,但是相對論卻回頭將馬克斯威爾深信不疑的以太學說徹底推翻。探索科學史的最大樂趣往往就是發現科學思潮的變換,也讓自己對物理的演進有更深一層的了解。請各位看官一起跟阿文來探索一番吧。

話說當時馬克斯威爾的挑戰是建立一個不僅可以能夠描寫電學與磁學現象,更要緊的是能解釋電磁感應的具體模型。那時已經有人提出一些試著解釋電磁現象的物理模型。馬克斯威爾特別提到了物理大師William Thomson在1847年提出的「彈性固體模型」。在這模型裏,固體的每一顆粒子在磁場力的作用會產生角位移(Angular displacement),其轉動軸與磁場力同方向,位移大小則是與磁場力的大小成正比;而電場力則是會使固體粒子產生絕對位移,位移方向是電場力的方向,位移大小則是與電場力大小成正比。電流通過時,粒子還會產生相對於周遭粒子的相對位移,方向與電流相同,大小與電流的大小成正比。粒子具有彈性所以可以解釋電場和磁場的傳播,此外,固體粒子會因磁場的作用而產生角位移,所以也可以解釋法拉第效應。但是,Thomson並沒有解釋電場力和磁場力如何產生。顯然,這樣的模型離馬克斯威爾心目中完美的模型還有一段距離。

1861年,馬克斯威爾終於發表了他的第二篇電磁學的論文《論物理力線》,他提出了「分子渦流模型」。透過分子渦流模型,經過一番複雜的運算,馬克斯威爾能夠推導出安培定律、法拉第感應定律等等。並合理地解釋各種電磁場現象和其伴隨的作用力。這麼神奇的模型到底是什麼樣子呢? 且讓阿文嘗試不用方程式來加以描述一番:

分子渦流模型molecular vortex model (CC BY 3.0)


首先馬克斯威爾認為磁場是一種旋轉現象。在他設計的「分子渦流模型」裏,他將磁力線延伸為「渦流管」。想像渦流管是由許多「渦胞」(cell) (渦旋分子molecule vortex)所組成。在渦胞內,不可壓縮的流體繞著旋轉軸以均勻角速度旋轉。渦流內流體的角速度被馬克斯威爾當成磁場。在渦胞內部的每一小塊都會感受到來自不同方向不同的壓力。由這壓力的分布,就可以計算出小塊感受到的力。他認為這個就是磁力的來源。

接下來他假設鄰近兩條磁力線的渦胞的旋轉方向相同。假若這些渦胞之間會發生摩擦,則渦胞的旋轉會越來越慢,最後會停止旋轉;但若這些渦胞之間是平滑的,那麼磁場就無法傳播了。為了要避免這個困難,馬克斯威爾想出一個絕妙的解決之道:他假設在兩個相鄰渦胞之間,有一排微小圓珠,將這兩個渦胞隔離分開。這些圓珠只能滾動(rolling),不能滑動。圓珠旋轉的方向相反於這兩個渦胞的旋轉方向,這樣,就不會引起摩擦。圓珠的平移速度是兩個渦胞的周邊速度的平均值。這是一種運動學的關係,而不是動力學的關係,因為這些圓珠都沒有質量。馬克斯威爾將這些圓珠的運動比擬為電流。從簡單的幾何關係,馬克斯威爾得到了圓珠的速度與渦胞角速度的關聯,正是安培定律!

接下來,馬克斯威爾賦予這些渦胞彈性的性質。假設施加某種外力於圓珠,則這些圓珠會轉而施加切力於渦胞,使得渦胞變形。這代表了一種靜電狀態。這個切力就是電場。如果外力與時間有關,則渦胞的變形也會與時間有關,這樣就形成了電流。由於渦胞內部的流體的流動,渦胞具有流動能量密度,馬克斯威爾把它比擬為磁能量密度,而圓珠的切力所產生的變形而儲存的彈性能量密度則被比擬為電能量密度。所以切力所做的總功率應該等於渦胞的總能量的增加,由此馬克斯威爾得到法拉第電磁感應定律。傑克!真是太神奇了吧!


現在設想一個原本為電中性的電介質,束縛在其中的電荷,由於感受到電場的作用,正束縛電荷會朝著電場的方向移動,負束縛電荷會朝著電場的反方向移動。由於電介質內部正負電荷的相對位移,會產生電偶極,這現象稱為電極化。靜電狀況中,這些束縛電荷不會造成電流,因為它們的移動範圍被限制住了。但假設電場隨時間變化,則電荷的移動也會與時間有關,因而形成了隨著時間改變的電流。現在想像渦胞的介質是這種電介質,則因為隨時變化的位移會產生額外的電流,馬克斯威爾稱它為"位移電流"。所以馬克斯威爾在安培定律中增加了一個有關於位移電流的項,稱為「馬克斯威爾修正項」。這一項非同小可,後面會再提到。

馬克斯威爾很快地想到,既然彈性物質會以波動形式傳播能量於空間,那麼,這模型所比擬的電磁場應該也會以波動形式來傳播能量。馬克斯威爾計算出電磁波的傳播速度,發覺這數值非常接近於,先前法國科學家量得的光速。因此,馬克斯威爾大膽猜測光波就是一種電磁波。

1862年初論文再版時,馬克斯威爾又增補了兩部分。在增補的第一部分中,他探討了靜電場的性質和位移電流。在增補的第二部分中,他探討了偏振光的偏振方向會在外磁場作用下發生改變的現象,即法拉第效應。很有趣地是, 古斯塔夫·克希荷夫完全沒有使用到位移電流的概念就能夠在1857年推導出電報方程式(telegraph equations)。但是,他使用的是帕松方程式和電荷連續方程式。位移電流從這兩個方程式就可以推出來。可是,克希荷夫認為他的方程式只適用於導線內部。因此,他始終沒有想到光波就是電磁波的事實。

於1864年,馬克斯威爾完成了論文《電磁場的動力學理論》。隔年才出現在期刊上。有趣的是在這裏,他不再倚賴具體的模型,而是將電磁場遵守的數學關係整理出來。這篇論文的第三節的標題為電磁場一般方程式,馬克斯威爾寫出了二十個未知量的二十個方程式;其中,有十八個方程式可以用六個向量方程式集中表示(對應於每一個直角坐標軸,都有一個方程式),另外兩個是純量方程式。所以,以現代向量標記,馬克斯威爾方程組可以表示為八個方程式,分別為

(A)總電流定律: 即總電流是電流加上位移電流。

(B)磁場方程式: 即向量位的定義。

(C)安培環流定律: 即加上馬克斯威爾修正項的安培定律

(D)勞侖茲力方程式

(E)電彈性方程式:感應電偶極與外加電場的關係

(F)歐姆定律

(G)電場的高斯定律

(H)電流的連續方程式

在這篇論文裡,馬克斯威爾正式推導出光波是一種電磁波。推導過程中,之前他提出的安培定律(C) 中新增的「馬克斯威爾修正項」扮演一個關鍵的角色。令後人驚訝的是在此他並沒有用法拉第感應定律,而是用方程式(D)來解釋電磁感應作用。這篇論文也明確地闡明,能量儲存於電磁場內。這篇論文宣告電磁理論的誕生!

 

(CC BY 4.0)


電磁學之外,馬克斯威爾對統計力學的建立也有不可磨滅的功績。1856年至1866年間,他建立了氣體分子速度分布的理論。後來由波茲曼進一步將其推廣為馬克斯威爾-波茲曼分布。它給出在特定溫度下以特定速度運動的氣體分子數目所占的比例。馬克斯威爾又進行了一個可以詰難熱力學第二定律的思想實驗。他設想如果一個熱力學系統內部存在這樣一個機制:其可以辨識分子運動速度,並令運動速度在不同區間上的分子向系統不同部分集中(這一機制一般被稱為幽靈);那麼一個孤立系統的熵可能會因為這一機制的存在而減少,而這就違反了熱力學第二定律!

1865年,正當馬克斯威爾在學術生涯的高峰時,他卻決定辭去倫敦國王學院的職位,帶著妻子回到故鄉。原因是他是個非常盡責的教授,授課非常認真,卻也讓他一頭蠟燭兩頭燒,雖然年僅三十四歲,他已經感到力不從心,所以還是選擇辭去教職,專注在研究與著書。他在1870年發表的《論可易圖形、框架以及力圖》(On reciprocal figures, frames and diagrams of forces)中,探討了不同承重結構的剛度。他還撰寫了教材《熱學》(Theory of Heat)(1871年)以及專著《物質與運動》(Matter and Motion)(1876年),並成為明確使用因次分析方法的第一人。

不過沒有多久,馬克斯威爾還是重出江湖。1868年底,劍橋大學指定一個委員會討論如何使物理教學達到最佳效果,委員會提議設置實驗物理教授的職位,並興建一座設備完善的物理實驗室。當時的劍橋大學校長威廉卡文迪西(William Cavendish, 1808~ 1891),私人捐資興建這一間教學實驗室,以他的家族前輩亨利卡文迪西(Henry Cavendish,1731~1810)命名,而1871年馬克斯威爾受邀成為首任卡文迪許教授,他被委任負責卡文迪許實驗室的發展。馬克斯威爾深深投入卡文迪許實驗室的建設,裡頭的一磚一瓦以及每件儀器的購置都要經過他呢。

在他辭去倫敦職位和擔任卡文迪許教授之間的賦閒時期他還完成許多重要的工作。馬克斯威爾方程組的較為完善的形式最早出現在1873年出版的《電磁通論》中。馬克斯威爾以四元數的代數運算去表述電磁場理論,並將電磁場的勢作為其電磁場理論的核心。此外在這段時間,他也回到熱力學的研究。1871年,他從熱力學勢對兩種熱力學狀態量的二階偏導與求偏導的先後順序無關出發,給出了一系列熱力學狀態量偏導數間的等式關係,即馬克斯威爾關係。這對熱力學發展都有莫大的影響。

卡文迪許實驗室終於在1874年建成。這個素有諾貝爾搖籃美名的實驗室,是一個教學實驗室,不僅讓物理教學能系統化地講授,配合講授同時還進行演示實驗,甚至學生也能動手做實驗。馬克斯威爾非常重視實驗教學,他認為科學教育不僅要訓練學生的注意力、熟習數學計算演練,也要訓練學生的眼睛敏銳、聽覺、觸覺靈敏和手指敏捷,將教學與可靠的客觀事實相連,使思考活躍起來。要鼓勵學生動手做實驗,即使做錯了也可從中找出有用的東西,這樣就能夠培養學生的探索精神和創造性。

馬克斯威爾晚年對於科學做出最大貢獻,就是抄寫並編輯整理了亨利·卡文迪西所遺留下的實驗資料。他整理了一百年前亨利卡文迪西的電學手稿,親自重複每個實驗並作改進。這些資料包含了卡文迪許對與地球密度以及水的微觀物質構成的探究。正當馬克斯威爾要在卡文迪許實驗室好好發揮的時候,不幸卻病魔纏身,他在1879年11月5日因胃癌在劍橋逝世,得年只有48歲。他的母親也是在相同的年齡因為同種癌症而去世的。馬克斯威爾被葬於離他長大的地方非常近的帕頓。他終生摯友Lewis Campbell為他寫了一本詳實的傳記《詹姆斯·克拉克·馬克斯威爾的一生》(The Life of James Clerk Maxwell)在1882年出版。他的兩卷本著述集於1890年由劍橋大學出版社出版發行。

馬克斯威爾雖然英年早逝,但是他開創的電磁學在他身後繼續發展,下一回我們要回到歐陸,看看馬克斯威爾的理論如何在那裏結出豐碩的果實。敬請各位看官期待下一回電磁英雄傳!


電磁英雄列傳:馬克斯威爾(上)



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